Устав города Рязани, в действующей редакции, с последними изменениями от 29 октября 2015 года, гласит:

Глава VI. ГЛАВА МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Статья 35. Глава муниципального образования
....
Часть 5. В случае ... досрочного прекращения полномочий главы муниципального образования полномочия главы муниципального образования временно исполняет первый заместитель главы муниципального образования (заместитель главы муниципального образования) по решению представительного органа города Рязани.

Часть 6. Полномочия главы муниципального образования прекращаются досрочно в случае:
...
2) отставки по собственному желанию;
....

Часть 7. Полномочия главы муниципального образования по основаниям, предусмотренным частью 6 настоящей статьи, прекращаются немедленно (выделено НГ) после появления одного из оснований.

Соответственно, на данный момент Андрей Кашаев, заявивший 18 декабря об отставке, прекратил быть главой Рязани, и его обязанности должен исполнять его первый заместитель, депутат Александр Чайка, но по решению Думы. Возникает некая правовая неурядица. Выходом из которого может быть либо отсутствие документального заявления Андрея Кашаева об отставке, и значит, он всё же номинально возглавляет гордуму, либо срочный созыв заседания, где депутаты уполномочат Александра Чайку временно возглавлять орган до выборов нового председателя.

В любом случае, Устав ничего не говорит о скорости избрания нового председателя. Описан лишь механизм его выборов из состава депутатов. Чётких указаний на необходимость совершить эту процедуру в ограниченный период времени в уставе нет:

Статья 36. Порядок избрания главы муниципального образования.
Часть 1. Глава муниципального образования избирается из состава представительного органа города Рязани тайным голосованием. Кандидат считается избранным на должность главы муниципального образования, если за него проголосовало более половины от установленного числа депутатов представительного органа города Рязани.
....

Таким образом, до соответствующего решения гордумы о назначении новых выборов её текущей работой фактически будет руководить, вероятно, Александр Чайка. А рязанцы будут ждать объявления о назначении выборов и кандидатах на должность. В любом случае, жителям лишь остаётся наблюдать за этой процедурой, так как права влиять на избрание главы города через механизм прямых выборов мы давно лишены.